晶體學(xué)涉及晶體本身的性質(zhì)（如對(duì)稱(chēng)性和各向異性）及晶體在外部條件變化時(shí)的結(jié)構(gòu)變化（如溫度、壓力、磁場(chǎng)、電場(chǎng)等）。描述晶體本身及其變化的最常用的工具之一就是極射赤面投影法或極射投影圖。《材料科學(xué)基礎(chǔ)》課程是材料專(zhuān)業(yè)最基本的理論課程，涉及的材料主要是晶體。如果問(wèn)剛學(xué)過(guò)《材料科學(xué)基礎(chǔ)》課程的學(xué)生，哪些概念相對(duì)難？苦澀難懂？肯定會(huì)有不少同學(xué)說(shuō)，極射投影圖難懂，有效使用更難。如果問(wèn)及這個(gè)工具用于哪些場(chǎng)合？同學(xué)們基本能答出用于確定不同晶體學(xué)方向夾角的測(cè)定，用于多晶織構(gòu)的表達(dá)。至于熟練應(yīng)用，就很難達(dá)到，或令人望而生畏了。針對(duì)此現(xiàn)象，作者曾編輯出版了《材料科學(xué)名人典故與經(jīng)典文獻(xiàn)》[1]一書(shū)，收集整理了極射投影圖方法的演變歷史及在不同領(lǐng)域的應(yīng)用，并在課程教學(xué)中予以展示。由于作者長(zhǎng)期從事的材料學(xué)研究中頻繁用到極射投影圖和極圖，因此充分體會(huì)到其直觀性和便利性；此外，隨著科技的不斷進(jìn)步，特別是計(jì)算機(jī)及軟件開(kāi)發(fā)和測(cè)試技術(shù)的進(jìn)步，晶體學(xué)這個(gè)既傳統(tǒng)又成熟但其應(yīng)用還遠(yuǎn)不普及的學(xué)科，越來(lái)越頻繁地被應(yīng)用，極射投影圖也越來(lái)越廣泛地得以使用。在此結(jié)合作者所收集的資料和自己的科研工作討論極射投影法和極圖的“神奇”、有趣和廣泛應(yīng)用，希望引起讀者的興趣，并在研究工作中注重其應(yīng)用。
1. 極射赤面投影的基本概念
圖1給出極射赤面投影原理圖。極射赤面投影方法是由單位球的中心出發(fā)的任一晶向，與球面相交（球面投影概念）于A點(diǎn)，該交點(diǎn)A向單位球的南極（下半球）投影，投影線AS與赤道面的交點(diǎn)′A′就是該晶向三維方向的二維坐標(biāo)或表達(dá)。類(lèi)似地可做出三維晶體方向B（實(shí)際是原點(diǎn)到B的方向）在二維赤道面的投影位置′B′。A，B方向在空間的夾角就等于′A′和′B′在平面投影圖中的夾角，該投影過(guò)程是保角的，這個(gè)角度要用吳氏網(wǎng)（Wullf net）來(lái)度量，見(jiàn)圖1(c)。具體方法是，將′A′、′B′投影點(diǎn)轉(zhuǎn)到吳氏網(wǎng)的經(jīng)線上，量出它們之間的緯度角值。由極射赤面投影制作過(guò)程及使用的吳氏網(wǎng)可知，極射赤面投影圖與地球儀、地理、航海有密切聯(lián)系，甚至可以說(shuō)是由其演變而來(lái)。吳氏網(wǎng)上的經(jīng)線是不同傾斜角度并過(guò)球心的大圓的極射投影，而吳氏網(wǎng)上的緯線是垂直于赤道面的一系列小圓的極射投影線。
在晶體學(xué)中，為了一目了然地看出晶體中所有重要晶面的相對(duì)取向及對(duì)稱(chēng)關(guān)系，通常使用的方法是制作極射赤面標(biāo)準(zhǔn)投影圖。一般選擇某個(gè)低指數(shù)晶面（例如(100)、(110)、(111)等）作為投影面（即赤道面），將其他重要的晶面的極點(diǎn)投影到這個(gè)面上（圖2（c））。圖2是立方系(001)標(biāo)準(zhǔn)投影圖的制作過(guò)程及其標(biāo)準(zhǔn)投影圖。能看出繞中心<001>軸的4次對(duì)稱(chēng)性及鏡面對(duì)稱(chēng)關(guān)系。圖2（d）是作者2005年在比利時(shí)魯汶?yún)⒓訃?guó)際材料織構(gòu)會(huì)議參觀魯汶大學(xué)材料學(xué)院時(shí)見(jiàn)到的極射投影法教具，是圖2（b）的實(shí)物化。如果要求出極射圖（圖2（c））中某一位置點(diǎn)對(duì)應(yīng)哪個(gè)(hkl)晶向指數(shù)是多少？只需量出其與3個(gè)<100>軸的交角，求出3個(gè)角度余弦之比并互質(zhì)化即可[2]。反之，如果要確定一個(gè)（hkl）極點(diǎn)或晶向在標(biāo)準(zhǔn)投影圖中的位置，只需求出其與三個(gè){100}晶軸的夾角，在極射投影圖中畫(huà)出對(duì)應(yīng)角度的大圓及兩個(gè)緯線，其惟一的交點(diǎn)就是（hkl）極點(diǎn)位置。
在學(xué)習(xí)極射投影法時(shí)，應(yīng)注意區(qū)分極射投影圖與極圖的差異。極圖是在講述形變織構(gòu)、再結(jié)晶織構(gòu)知識(shí)點(diǎn)時(shí)使用的術(shù)語(yǔ)。不了解織構(gòu)的人可能認(rèn)為極圖就是極射投影圖的縮寫(xiě)，其實(shí)極圖除含極射投影的含義外，還包含樣品坐標(biāo)系的信息，即標(biāo)出晶體坐標(biāo)系相對(duì)于樣品坐標(biāo)系的旋轉(zhuǎn)關(guān)系（這就是晶體取向的定義），{100}極圖指畫(huà)出所有不同取向晶粒的{100}投影點(diǎn)、又表達(dá)出樣品坐標(biāo)系與晶體坐標(biāo)系旋轉(zhuǎn)關(guān)系的極射投影圖（見(jiàn)后文的舉例）。很多情況下，使用者不關(guān)心樣品坐標(biāo)系，只關(guān)心晶體坐標(biāo)系，因此就用常見(jiàn)的極射投影圖。而一旦涉及樣品坐標(biāo)系的取向或方位，就要用極圖。
不同領(lǐng)域的研究者還應(yīng)注意極射投影法與等面積投影法的差異[3]。礦物學(xué)、晶體學(xué)中主要分析各種晶體學(xué)方向或晶面間的關(guān)系，要在二維圖上保持三維空間的角度關(guān)系，所以習(xí)慣使用等角度投影的吳氏網(wǎng)（Wullf net）來(lái)度量；而地質(zhì)學(xué)、地理學(xué)、測(cè)繪學(xué)中常需要描述地球上不同區(qū)域或國(guó)家大小比例間的關(guān)系，所以習(xí)慣用等面積投影的方式作圖或度量，這就要用到等面積投影的Lambert網(wǎng)或Schmidt網(wǎng)[4]。圖3給出(a)等角度投影吳氏網(wǎng)（Wullf網(wǎng)）與(b)等面積投影Schmidt網(wǎng)的差異。繪制兩種網(wǎng)的數(shù)學(xué)公式的差異見(jiàn)文獻(xiàn)[3]。
2. 極射赤面投影法應(yīng)用歷史
2.1 極射投影圖的歷史演變
由構(gòu)造極射赤面投影圖時(shí)提到的南極、北極、赤道，就不難想象，這種方法是從地理學(xué)演變過(guò)來(lái)的。然而在天體學(xué)中極射投影法的應(yīng)用比地理學(xué)還早。早在公元前125年，古代最偉大的天文觀察家、三角幾何學(xué)的開(kāi)創(chuàng)者Hipparchos（希帕克斯）最先引入極射投影法[3]，大致出現(xiàn)在古埃及時(shí)代，最初稱(chēng)為平面球形投射。托勒密(Ptolemy)的“星圖”（Planisphaerium）是現(xiàn)存文獻(xiàn)中最早描述極射投影的著作(參見(jiàn)
作者曾有集郵的愛(ài)好，留學(xué)德國(guó)期間也收集了一些德國(guó)的郵票，恰好有一套1500—1700年收藏家所擁有的天體儀與地球儀藏品的郵票，見(jiàn)圖5。天體儀可以用于確定宇宙中各星球的相對(duì)位置，也可用于確定24個(gè)節(jié)氣和每天24小時(shí)的時(shí)間點(diǎn)。
天體儀是天體定位的工具，是指一個(gè)以地球質(zhì)心M為中心，半徑r為任意長(zhǎng)的一個(gè)假想的球體。其目的是將天體沿觀測(cè)者視線投影到球面上（球面投影的概念），以便于研究天體及其相互關(guān)系。有時(shí)還將天球球心設(shè)置在某些特殊點(diǎn)，如地心和日心，相應(yīng)的天球分別稱(chēng)為地心天球和日心天球。天文航海按自身的需要，把地心作為天球的球心。星星從東方的地平線爬上來(lái)，爬到最高點(diǎn)(中天)，然后往西方沉下去?？雌饋?lái)就像整個(gè)天球圍繞著地球旋轉(zhuǎn)一樣。古時(shí)候人們?yōu)榱吮鎰e方向、確定時(shí)間，創(chuàng)造出日晷和圭表來(lái)。古代天文學(xué)家為了測(cè)定星星的方位和運(yùn)動(dòng)，又設(shè)計(jì)制造了許多天體測(cè)量的儀器。通過(guò)對(duì)星空的觀察，將星空劃分成許多不同的星座，并編制了星表。通過(guò)對(duì)天體的測(cè)量和研究形成了早期的天文學(xué)。直到16世紀(jì)中葉，哥白尼提出了日心體系學(xué)說(shuō)，從只是單純描述天體位置、運(yùn)動(dòng)的經(jīng)典天體測(cè)量學(xué)，發(fā)展成尋求造成這種運(yùn)動(dòng)力學(xué)機(jī)制的天體力學(xué)。
天球坐標(biāo)系中有幾種不同的坐標(biāo)表達(dá)方式(參見(jiàn)
1823年F.E. Neumann最先將極射投影網(wǎng)用于礦物學(xué)[3]。1892年俄羅斯的晶體學(xué)家Federov因發(fā)明了萬(wàn)用測(cè)角顯微鏡臺(tái)和1902年Wullf網(wǎng)的引入而共同推廣了其使用，見(jiàn)圖7。
最早的織構(gòu)在極圖（這時(shí)同時(shí)涉及樣品坐標(biāo)系與晶體坐標(biāo)系）上的表示：德國(guó)柏林大學(xué)的Wever于1924年用極圖表示了用X射線勞厄照相法獲取的軋制鋁和軋制鐵的織構(gòu)信息[5]。
圖8是2012年諾貝爾化學(xué)獎(jiǎng)得主、以色列的材料學(xué)家Shechtman1982年發(fā)表準(zhǔn)晶文章中使用極射投影圖表示的5次旋轉(zhuǎn)反演對(duì)稱(chēng)性（經(jīng)典的晶體只有1、2、3、4、6次軸對(duì)稱(chēng)性）[6]。
簡(jiǎn)而言之，極射投影法最早在天體學(xué)中應(yīng)用，隨后在航海、制圖學(xué)和測(cè)量學(xué)中的應(yīng)用，然后才用于礦物學(xué)和晶體學(xué)以及地質(zhì)學(xué)中，此外也在數(shù)學(xué)、攝影學(xué)等領(lǐng)域應(yīng)用。
2.2 極射投影技術(shù)的相關(guān)人物
與晶體學(xué)（含礦物學(xué)與材料科學(xué)）領(lǐng)域使用極射投影技術(shù)相關(guān)的人物除了俄羅斯的費(fèi)德洛夫(Fedorov)、英國(guó)的布拉格(Bragg)父子外，這里僅介紹使用極射投影網(wǎng)的兩位人物，俄羅斯的吳爾夫（Wulff）和奧地利的施密特（Schmidt），兩種投影圖網(wǎng)格工具以他們的名字命名。
俄羅斯礦物學(xué)家、莫斯科國(guó)家大學(xué)教授喬治?吳爾夫（Georgii Yuri Viktorovich Wulff (1863—1925))不是最早使用Wullf網(wǎng)的，而是他于1902年最早制作了最高“分辨率”的Wullf網(wǎng)，即直徑20 cm、每隔2°一個(gè)格。吳爾夫（照片見(jiàn)圖9，參見(jiàn)
極射投影法測(cè)量的另一個(gè)代表人物是奧地利地質(zhì)學(xué)家和巖相學(xué)家Walter Schmidt(1885—1945，參見(jiàn)
3. 極射投影法的應(yīng)用
以下簡(jiǎn)單介紹極射投影法在各領(lǐng)域的廣泛應(yīng)用(參見(jiàn)
3.1 在不同學(xué)科中的應(yīng)用
3.1.1 在數(shù)學(xué)、幾何學(xué)中的應(yīng)用
（1）用于復(fù)變函數(shù)；（2）用于線和平面3維的可視化；（3）用于多面體的可視化；（4）用于算法幾何。
3.1.2 在繪圖中的應(yīng)用（Cartography）
極射投影可用于映射地球。一般來(lái)說(shuō)，統(tǒng)計(jì)方面應(yīng)用更傾向于使用保面積映射投影，因?yàn)樗麄冊(cè)诜e分學(xué)上有很好應(yīng)用；而用于導(dǎo)航時(shí)則更傾向于使用保角映射投影。當(dāng)投射集中在地球的北極或南極時(shí)，它將有額外的特性，即將經(jīng)線表示成過(guò)原點(diǎn)到圓周的射線上，將緯線表示成集中或環(huán)繞于原點(diǎn)的圓周上，見(jiàn)圖10。
3.1.3 在地質(zhì)學(xué)中的應(yīng)用
在構(gòu)造地質(zhì)學(xué)中，應(yīng)用下半球的極射投影描繪平面和線的取向。人們關(guān)注的是巖石的面型特征-摺紋（foliation），而面型特征又由線型特征組成，稱(chēng)為線理（lineation）。比如，面型特征斷層面(Fault)包含線型特征是帶有巖石間相對(duì)摩擦紋理的光滑表面（slickensides），見(jiàn)圖11。這些在不同尺度范圍內(nèi)的線和面的取向就可以用上述所說(shuō)的線和面的顯像方法來(lái)描繪。與晶體學(xué)中使用極射投影相似的是，地質(zhì)學(xué)中的平面也用它的法線（極點(diǎn)）來(lái)表示；不同的是，地質(zhì)學(xué)中采用的是南半球而不是北半球(因?yàn)槿藗冴P(guān)注的問(wèn)題發(fā)生在地球表面之下)。
圖12是1976年7月28日中國(guó)唐山大地震的P波初動(dòng)符號(hào)和震源機(jī)制解答參數(shù)用吳爾夫網(wǎng)表示的結(jié)果(參見(jiàn)
3.1.4 在攝影術(shù)中的應(yīng)用（Photography）
魚(yú)眼鏡頭利用極射投影方法，以獲得更寬的視野（即廣角的概念）。利用保角的極射投影的魚(yú)眼鏡頭優(yōu)于利用保面積的極射投影，因?yàn)楸＝堑臉O射投影可使接近邊緣的區(qū)域更好地保留他們的形狀，并且直線很少被投影成彎曲線，見(jiàn)圖13。
由于本科課程學(xué)時(shí)有限，課上難以也沒(méi)有必要展示極射投影的廣泛用途，但可以在研究生與晶體學(xué)有關(guān)課程中進(jìn)一步介紹。由此作者在研究生“材料結(jié)構(gòu)”課程教材《工程材料結(jié)構(gòu)原理》[7]中編入相應(yīng)內(nèi)容。將科研體會(huì)放在其中，將小軟件送給學(xué)生訓(xùn)練加速理解；在企業(yè)技術(shù)人員的培訓(xùn)中，將各方面應(yīng)用放在一起比較，培養(yǎng)歸納整理、總結(jié)的能力。
圖14為用極射投影圖表示晶體學(xué)點(diǎn)群對(duì)稱(chēng)性特征的例子，是德國(guó)晶體學(xué)家Hessel提出的32種點(diǎn)群中第8、9號(hào)點(diǎn)群在極射圖中的表達(dá)。
圖15（a）是用極射投影圖表示閉形單晶外表面相同的{120}等效晶面對(duì)稱(chēng)關(guān)系及位置的例子。立方晶體中1種閉形的立體形態(tài)（五角十二面體）及其極射赤面投影，圖15（b）是作者購(gòu)置的FeS2單晶實(shí)物，與圖15（a）示意圖對(duì)應(yīng)。
圖16為用極射投影圖表達(dá)晶體塑性形變時(shí)不同滑移系開(kāi)動(dòng)行為的例子。對(duì)應(yīng)一個(gè){100}<011>取向晶體的12個(gè)滑移系，每個(gè)滑移系由一個(gè){111}極和{110}極連線組成，兩個(gè)極連成線。其中4個(gè)滑移系取向因子最大而首先開(kāi)動(dòng)（圖中的實(shí)線）。面心、體心立方結(jié)構(gòu)的滑移系位置一樣。在極圖上討論取向變化規(guī)律。兩個(gè)滑移系有相同的滑移方向稱(chēng)共向滑移，極圖上有相交的{110}點(diǎn)(BCC金屬)；兩個(gè)滑移系有相同的滑移面稱(chēng)共面滑移系，在極圖上有相交的{111}極點(diǎn)(FCC)。這個(gè)幾何圖既告訴我們哪些滑移系開(kāi)動(dòng)，又指導(dǎo)我們分析開(kāi)動(dòng)滑移系轉(zhuǎn)動(dòng)的方向和為什么這個(gè)取向隨變形的進(jìn)行，取向卻是穩(wěn)定而不改變的。
圖17為用極圖表示不同取向BCC結(jié)構(gòu)Fe-3Si單晶軋制時(shí)沿板厚度方向形變均勻性的差異。冷軋時(shí)不同單晶的取向變化顯示不同的取向穩(wěn)定性；旋轉(zhuǎn)立方取向(100)[011]晶體軋制后，板材的表層出現(xiàn)繞橫向軸轉(zhuǎn)動(dòng)，而板中心層取向不變，見(jiàn)圖17(a)和(b)。(112)[
圖18為在極圖上表示高層錯(cuò)能的Al-1.3Mn合金軋制再結(jié)晶初期后出現(xiàn)的3階孿晶關(guān)系，是作者1994年在德國(guó)亞琛工業(yè)大學(xué)攻讀博士學(xué)位階段用EBSD技術(shù)檢測(cè)到的，測(cè)定時(shí)間1 min左右，測(cè)定時(shí)自然不知道各晶粒之間是什么關(guān)系，但一旦用{111}極圖顯示出來(lái)，便能確定其是由A→B→C，B→D的孿生關(guān)系；該結(jié)果發(fā)表在文章[10]中。
圖19為用{100}極圖的方式表示面心-體心結(jié)構(gòu)晶體按K-S取向關(guān)系相變時(shí)各變體的位置、數(shù)目及分布。一個(gè)面心立方結(jié)構(gòu)的{100}<001>立方取向晶粒按K-S關(guān)系可轉(zhuǎn)變?yōu)?4個(gè)體心立方結(jié)構(gòu)的馬氏體變體。每個(gè)取向有3個(gè){100}投影點(diǎn)，24個(gè)取向共72個(gè)點(diǎn)。分屬于3種類(lèi)型取向，每組8個(gè)取向。第一組近似為45°旋轉(zhuǎn)立方取向{100}<011>（圖中1-8#），第二組近似為反高斯取向
多晶體的擇優(yōu)取向問(wèn)題幾乎總是借助于極射赤面投影來(lái)分析解決的。此外單晶體和某些多晶體中的—些有方向性的力學(xué)或物理性質(zhì)，如彈性模量、屈服點(diǎn)和導(dǎo)電率等，可以在極射赤面投影上用圖解法表示。
極射投影法是直觀的三維方向關(guān)系表達(dá)法，極射投影圖使其變?yōu)槎S紙面上的關(guān)系；涉及的領(lǐng)域從天體學(xué)、地理學(xué)、航行測(cè)繪、地質(zhì)學(xué)、晶體學(xué)、材料科學(xué)、數(shù)學(xué)等；在尺度上從納米尺度的晶體單胞到工件、微電子器件到礦物巖石、山體滑坡到地震災(zāi)害、地球太陽(yáng)到宇宙。在時(shí)間上從古至今，在地域上遍及各大洲，離我們那么遠(yuǎn)又那么近，只要有心，那就是那么有趣。人既要在某一方面深入下去，也要有對(duì)多領(lǐng)域的了解，提高觸類(lèi)旁通的能力。
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文章來(lái)源——金屬世界
3.2 極射投影圖在作者教學(xué)中的應(yīng)用舉例
4. 結(jié)束語(yǔ)